Задача 155 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y={{\log }_{3}}\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)-2$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y={{\log }_{3}}\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)-2$: $11+4x-{{x}^{2}} > 0$ — область определения функции $\ln x$. Обозначим $g=11+4x-{{x}^{2}}$ и решим неравенство $g > 0$:

\[\begin{align}& -{{x}^{2}}+4x+11=0 \\ & D=16+44=60 \\ & \sqrt{D}=\sqrt{60}=2\sqrt{15} \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-4+2\sqrt{15}}{-2}=2-\sqrt{15}\\{{x}_{2}}=\frac{-4-2\sqrt{15}}{-2}=2+\sqrt{15}\\\end{matrix} \right. \\ & y=-\left( x-\left( 2-\sqrt{15} \right) \right)\left( x-\left( 2+\sqrt{15} \right) \right) \\ \end{align}\]

Найдем область определения функции, отметив найденные точки на рисунке:

Значит, функция $y$ определена при $x\in \left( 2-\sqrt{15};2+\sqrt{15} \right)$.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{'}}=\frac{1}{x\ln a} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\log }_{3}}\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)-2 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\log }_{3}}\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right) \right)}^{'}}-{{\left( 2 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{{{\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)}^{'}}}{\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)\ln 3} \\ & {{y}^{'}}=\frac{-2x+4}{\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)\ln 3} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{-2x+4}{\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)\ln 3}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& -2x+4=0 \\ & -2x=-4 \\ & x=2 \\ \end{align}\]

Функция определена в этой точке.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & x > 2 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $2-\sqrt{30} < x < 2$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $2 < x < 2+\sqrt{30}$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке.

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y={{\log }_{3}}\left( 11+4x-{{x}^{2}} \right)-2$является точка $x=2$.

Правильный ответ

$x=2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат