Задача 153 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\ln {{\left( x+4 \right)}^{2}}+2x+7$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=\ln {{\left( x+4 \right)}^{2}}+2x+7$: $x+4\ne 0$, поскольку выражение ${{\left( x+4 \right)}^{2}}$ заведомо неотрицательное.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \ln {{\left( x+4 \right)}^{2}}+2x+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( \ln {{\left( x+4 \right)}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 2x \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{2\left( x+4 \right)}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}-2=\frac{2\left( x+4 \right)-2{{\left( x+4 \right)}^{2}}}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{2\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{2\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)}{{{\left( x+4 \right)}^{2}}}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& 2\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=-4,{{x}_{2}}=-5 \\ \end{align}\]

В точка ${{x}_{1}}=-4$ функция и её производная не существует. Поэтому эта точка не может являться точкой экстремума функции, даже если в ней производная меняет свой знак.

Исследуем знаки производной, отметив на рисунке найденные точки:

Получаем:

при $x < -5$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $-5 < x < 4$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > -4$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y=\ln {{\left( x+4 \right)}^{2}}+2x+7$является точка $x=-5$.

Правильный ответ

$x=-5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Как не ошибиться, если я ищу репетитора по математике
  6. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов