Задача 151 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=6\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+5$ на отрезке $\left[ -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};0 \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных и тригонометрических функций:

\[{{\left( \cos x \right)}^{'}}=-\sin x\]

\[{{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right)\]

\[{{\left( Cx \right)}^{'}}=C\]

\[{{\left(\right)}^{^{'}}}=0\]

\[{y}'={{\left( 6\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+5 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=-6\sin x+\frac{24}{\pi }\]

\[{{y}^{'}}=6\left( \frac{4}{\pi }-\sin x \right)\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю).

\[{{y}^{'}}=0\]

\[6\left( \frac{4}{\pi }-\sin x \right)=0\]

\[\sin x=\frac{4}{\pi }\]

Это уравнение не имеет решений, т.к. $\sin x$ не может быть больше 1.

А производная ${{y}^{'}}=6\left( \frac{4}{\pi }-\sin x \right)$ всегда положительная.

Поэтому функция $y=6\cos x+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}x+5$возрастает на всей числовой прямой, в том числе на отрезке $\left[ -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3};0 \right]$ и наименьшее значение на этом отрезке она принимает на его левом конце, а именно в точке $x=-\frac{2\pi }{3}$.

Найдем это значение:

\[\begin{align}& y\left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=6\cos \left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)+\frac{24}{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}\left( -\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)+5 \\ & \cos \left( -\frac{2\pi }{3} \right)=\cos \left( \frac{2\pi }{3} \right)==-\frac{1}{2} \\ & y\left( -\frac{2\pi }{3} \right)=-3-16+5=-14 \\ \end{align}\]

Правильный ответ

$-14$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Задачи B12, сводящиеся к линейным уравнениям
  5. Тест по методу интервалов для строгих неравенств
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции