Задача 150 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=2x+\frac{2}{x}+14$ на отрезке [–7; –0,5]

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=2x+\frac{2}{x}+14$являются все значения $x$, кроме $x=0$, т. к. в этой точке знаменатель дроби равен нулю, что недопустимо.

Вычислим производную заданной функции. Мы видим, что сама функция представляет собой сумму элементарных функций. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилами вычисления производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( \frac{1}{x} \right)}^{'}}=-\frac{1}{{{x}^{2}}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 2x+\frac{2}{x}+14 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 2x \right)}^{'}}+{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{'}}+{{\left( 14 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=2-\frac{2}{{{x}^{2}}} \\ \end{align}\]

Из области определения производной, видим, что $x\ne 0$, но эта точка не может являться критической точкой, поскольку она не входит в область определения функции$y=2x+\frac{2}{x}+14$, даже если производная при переходе через нее меняет свой знак.

Поэтому и наибольшее значение функция не может принимать в этой точке.

Теперь вычислим точки, в которых производная, ${{y}^{'}}=0$ не забывая о том, что $x\ne 0$:

\[\begin{align}& \left\{ \begin{matrix}{{y}^{'}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}2-\frac{2}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

\[\begin{align}&\\ & \left\{ \begin{matrix}\frac{2{{x}^{2}}-2}{{{x}^{2}}}=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}2\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ & \left\{ \begin{matrix}{{x}_{1}}=1,{{x}_{2}}=-1\\x\ne 0\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что $x=1$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наибольшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( -0,5 \right)=-1-4+14=9 \\ & y\left( -7 \right)=-14-\frac{2}{7}+14=-\frac{2}{7} \\ & y\left( -1 \right)=-2-2+14=10 \\ \end{align}\]

Видим, что наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 10, которое функция принимает в точке $x=-1$.

Правильный ответ

$y=10$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня