Задача 149 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{7}^{{{x}^{2}}-2x+3}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}-2x+3$ принимает наименьшее значение, в той же точке принимает наименьшее значение и функция $y={{7}^{{{x}^{2}}-2x+3}}$.

Поэтому найдем это наименьшее значение.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}-2x+3$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ > 0) .

Такая парабола принимает своё наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}-2x+3$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=\frac{2}{2\cdot (1)}=1\].

А то есть в этой точке принимает своё наименьшее значение, так же как и функция $y={{7}^{{{x}^{2}}-2x+3}}$.

Найдем наименьшее значение функции $y={{7}^{{{x}^{2}}-2x+3}}$:

\[y\left( 1 \right)={{7}^{{{1}^{2}}-2\cdot 1+3}}={{7}^{2}}=49\]

Функция определена в этой точке, значит, ее наименьшее значение равно 49.

Правильный ответ

49

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Задача B5: площадь фигур с вершиной в начале координат