Задача 147 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{5}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$.

Решение

Имеем функцию вида $y={{a}^{z}}$. Эта функция возрастающая. То есть большему значению аргумента $z$ соответствует большее значение функции $y$.

Поэтому в той точке, в которой аргумент $z={{x}^{2}}+2x+3$ принимает наименьшее значение, в той же точке принимает наименьшее значение и функция $y={{5}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$.

Поэтому найдем это наименьшее значение.

Рассмотрим $z={{x}^{2}}+2x+3$. Графиком этой функции является парабола, с ветвями направленными вверх (т.к. коэффициент при ${{x}^{2}}$ > 0) .

Такая парабола принимает своё наименьшее значение в своей вершине.

Поскольку производная в вершине параболы равна нулю:

\[\begin{align}& {{\left( a{{x}_{v}}^{2}+b{{x}_{v}}+c \right)}^{'}}=0 \\ & 2{{x}_{v}}+b=0 \\ \end{align}\]

То значение ${{x}_{v}}$ для вершины параболы вычисляется по формуле:

\[{{x}_{v}}=-\frac{b}{2a}\]

Таким образом, график функции $z={{x}^{2}}+2x+3$ имеет вершину в точке:

\[{{x}_{v}}=-\frac{2}{2\cdot (1)}=-1\].

А то есть в этой точке принимает своё наименьшее значение, так же как и функция $y={{5}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$.

Найдем наименьшее значение функции $y={{5}^{{{x}^{2}}+2x+3}}$:

\[y\left( -1 \right)={{5}^{{{\left( -1 \right)}^{2}}+2\left( -1 \right)+3}}=25\]

Функция определена в этой точке, значит ее наименьшее значение равно 25.

Правильный ответ

25

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Метод интервалов: решение простейших строгих неравенств
  6. Семинар по задачам B10: теория вероятностей