Задача 144 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции, используя формулы:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right)}^{'}}{{e}^{7-x}}+\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{\left( {{e}^{7-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\left( 2x-17 \right){{e}^{7-x}}-\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{7-x}}\left( -{{x}^{2}}+19x-34 \right)=-{{e}^{7-x}}\left( {{x}^{2}}-19x+34 \right) \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{7-x}}\left( {{x}^{2}}-19x+34 \right) \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -{{e}^{7-x}}\left( {{x}^{2}}-19x+34 \right)=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{7-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-19x+34=0 \\ & D={{19}^{2}}-4\cdot 34=361-136=225 \\ & \sqrt{D}=15 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{19+15}{2}=17\\{{x}_{2}}=\frac{19-15}{2}=2\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{7-x}}\left( x-2 \right)\left( x-17 \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивает числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & 2 < x < 17 \\ & x > 17 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 2$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$убывает на этом промежутке,

при $2 < x < 17$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$ возрастает на этом промежутке,

при $x > 17$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$убывает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$ . Поэтому точкой минимума функции $y=\left( {{x}^{2}}-17x+17 \right){{e}^{7-x}}$является точка $x=2$.

Правильный ответ

$x=2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012 от 7 декабря. Вариант 2 (без логарифмов)
  5. Задача C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение