Задача 143 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( x-63 \right){{e}^{x-62}}$ на отрезке [61; 63]

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной сложной элементарных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{v}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \left( x-63 \right){{e}^{x-62}} \right)}^{'}}={{\left( x-63 \right)}^{'}}{{e}^{x-62}}+\left( x-63 \right){{\left( {{e}^{x-62}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-62}}+{{e}^{x-62}}\left( x-63 \right)={{e}^{x-62}}\left( 1+x-63 \right) \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x-62}}\left( x-62 \right) \\ \end{align}\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[{{e}^{x-62}}\left( x-62 \right)=0\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы из множителей был равен нулю. Т.к. ${{e}^{x-62}}\ne 0$, то:

\[\begin{align}& x-62=0 \\ & x=62 \\ \end{align}\]

Найденная точка попадает в заданный отрезок.

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и стационарной точке:

\[\begin{align}& y\left( 61 \right)=\left( 61-63 \right){{e}^{61-62}}=-2{{e}^{-1}}=-\frac{2}{e} \\ & y\left( 62 \right)=\left( 62-63 \right){{e}^{62-62}}=-1\cdot 1=-1 \\ & y\left( 63 \right)=\left( 63-63 \right){{e}^{63-62}}=0 \\ \end{align}\]

Наименьшее значение функции $y=\left( x-63 \right){{e}^{x-62}}$ на отрезке $\left[ 61;63 \right]$ равно $-1$.

Правильный ответ

$-1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комбинированные задачи B12
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата