Задача 141 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7$ на отрезке $\left[ -\frac{1}{2};3 \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=3{{x}^{2}}-6x \\ \end{align}\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& 3{{x}^{2}}-6x=0 \\ & 3x\left( x-2 \right)=0 \\ & {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=2 \\ \end{align}\]

В указанный отрезок $\left[ -\frac{1}{2};3 \right]$ попадают оба значения.

Теперь найдем значения функции в найденных точках и на границах отрезка:

\[\begin{align}& y\left( 2 \right)={{\left( 2 \right)}^{3}}-3{{\left( 2 \right)}^{2}}+7=8-12+7=3 \\ & y\left( 0 \right)=0-0+7=7 \\ & y\left( -\frac{1}{2} \right)={{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{3}}-3{{\left( -\frac{1}{2} \right)}^{2}}+7=-\frac{1}{8}-\frac{3}{4}+7=6\frac{1}{8} \\ & y\left( 3 \right)={{3}^{3}}-3\cdot {{\left( 3 \right)}^{2}}+7=27-27+7=7 \\ \end{align}\]

Видим, что на заданном отрезке функция имеет наименьшее значение в стационарной точке $x=2$ и это значение равно $3$.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Формула простого процента: неизвестно конечное значение