Задача 140 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)$ на отрезке [–19; –1]

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)$: ${{x}^{2}}+6x+12 > 0$.

Обозначим $g={{x}^{2}}+6x+12$ и решим неравенство $g > 0$:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}+6x+12=0 \\ & D=36-48 < 0 \\ \end{align}\]

Значит, уравнение не имеет решений, т. е. график функции $g={{x}^{2}}+6x+12$не имеет пересечений с осью x.

Так как графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при ${{x}^{2}}$ положительный), то $g > 0$при любом значении $x$.

И областью определения функции ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)$является вся числовая прямая.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{\log }_{a}}x \right)}^{'}}=\frac{1}{x\ln a} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right) \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)}^{'}}}{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)\ln \frac{1}{3}}=\frac{2x+6}{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)\ln \frac{1}{3}} \\ & y=\frac{2\left( x+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)\ln \frac{1}{3}}=-\frac{2\left( x+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)\ln 3} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{2\left( x+3 \right)}{\left( {{x}^{2}}+6x+12 \right)\ln 3}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 2\left( x+3 \right)=0 \\ & x+3=0 \\ & x=-3 \\ \end{align}\]

Значение попадает в заданный отрезок.

Оно делит числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -3 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в стационарной точке, которая попадает в заданный отрезок.

Получаем:

при $-19\le x < -3$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( -3 \right) > y\left( -19 \right)$,

при $-3 < x\le -1$, ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит $y\left( -3 \right) > y\left( -1 \right)$.

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ -19;-1 \right]$ функция принимает в точке $x=-3$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$+$ на $-$).

Найдем это значение:

\[y\left( -3 \right)={{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 9-18+12 \right)={{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 3 \right)=-1\]

Правильный ответ

$-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение: используем формулы процентов