Задача 137 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции ${{e}^{2x}}-6{{e}^{x}}+3$ на отрезке [1; 2].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной сложной элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{v}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{e}^{2x}}-6{{e}^{x}}+3 \right)}^{'}}={{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{'}}-{{\left( 6{{e}^{x}} \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}} \\ &\\ \end{align}\]

${{e}^{2x}}$ — сложная функция, поэтому ${{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{'}}={{\left( {{e}^{2x}} \right)}^{'}}\cdot {{\left( 2x \right)}^{'}}=2{{e}^{2x}}$, получим:

\[{{y}^{'}}=2{{e}^{2x}}-6{{e}^{x}}=2{{e}^{x}}\left( {{e}^{x}}-3 \right)\]

Производная существует при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$, а значит и на заданном отрезке.

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& 2{{e}^{x}}\left( {{e}^{x}}-3 \right)=0 \\ &\\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы из множителей был равен нулю. Т.к. $2{{e}^{x}}\ne 0$, то:

\[\begin{align}& {{e}^{x}}-3=0 \\ & {{e}^{x}}=3 \\ & x=\ln 3 \\ \end{align}\]

Проверим, попадает ли найденная точка в заданный отрезок:

\[\begin{align}& \ln e=1 \\ & \ln {{e}^{2}}=2 \\ & \ln e < \ln 3 < \ln {{e}^{2}} \\ \end{align}\]

Значит, точка $x=\ln 3$ попадает в заданный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < \ln 3 \\ & x > \ln 3 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной и определим поведение функции на интересующих нас отрезках:

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Найдем наименьшее значение на отрезке :

при $1\le x < \ln 3$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит $y\left( 1 \right) > y\left( \ln 3 \right)$,

при $\ln 3 < x\le 2$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит, $y\left( 2 \right) > y\left( \ln 3 \right)$.

$x=\ln 3$ — точка минимума функции (т. к при переходе через эту точка ${{y}^{'}}$ меняет знак с $-$ на $+$), в которой она принимает своё наименьшее значение на отрезке $\left[ 1;2 \right]$.

Найдем это значение:

\[y\left( \ln 3 \right)={{e}^{2\ln 3}}-6{{e}^{\ln 3}}+3={{3}^{2}}-6\cdot 3+3=-6\]

Правильный ответ

$-6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 6 вариант
  6. Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)