Задача 136 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 5x \right)}^{'}}+{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=4x-5+\frac{1}{x}=\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}\]

\[{{y}^{'}}=\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}=0\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 4{{x}^{2}}-5x+1=0 \\ & D=25-16=9 \\ & \sqrt{D}=3 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{5+3}{8}=1\\{{x}_{2}}=\frac{5-3}{8}=\frac{1}{4}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=4\left( x-1 \right)\left( x-\frac{1}{4} \right) \\ \end{align}\]

При найденных значения функция определена.

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < \frac{1}{4} \\ & \frac{1}{4} < x < 1 \\ & x > 1 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Отметим также область определения функции.

Получаем:

при $0 < x < \frac{1}{4}$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке,

при $\frac{1}{4} < x < 1$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > 1$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке.

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$.

Поэтому точкой минимума функции $y=2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3$является точка $x=1$.

Правильный ответ

$x=1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  6. Иррациональные уравнения с модулем