Задача 135 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 13x \right)}^{'}}+{{\left( 9\ln x \right)}^{'}}+{{\left( 8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=4x-13+\frac{9}{x}\]

\[{{y}^{'}}=\frac{4{{x}^{2}}-13x+9}{x}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{4{{x}^{2}}-13x+9}{x}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& 4{{x}^{2}}-13x+9=0 \\ & D=169-16\cdot 9=169-144=25 \\ & \sqrt{D}=5 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{13-5}{8}=1\\{{x}_{2}}=\frac{13+5}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=4\left( x-1 \right)\left( x-\frac{9}{4} \right) \\ \end{align}\]

Функция определена в этих точках

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 1 \\ & 1 < x < \frac{9}{4} \\ & x > \frac{9}{4} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $0 < x < 1$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $1 < x < \frac{9}{4}$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > \frac{9}{4}$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y=2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8$является точка $x=1$.

Правильный ответ

$x=1$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Типичные задачи B12 с функциями
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Задача B4 про три дороги — стандартная задача на движение