Задача 133 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=4x-4\ln \left( x+7 \right)$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=4x-4\ln \left( x+7 \right)$: $x+7 > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+7 > 0 \\ & x > -7 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 4x-4\ln \left( x+7 \right) \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 4x \right)}^{'}}-{{\left( 4\ln \left( x+7 \right) \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=4-\frac{4}{x+7}=\frac{4x+28-4}{x+7} \\ & {{y}^{'}}=\frac{4x+24}{x+7}=\frac{4\left( x+6 \right)}{x+7} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{4\left( x+6 \right)}{x+7}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& 4\left( x+6 \right)=0 \\ & x=-6 \\ \end{align}\]

При $x=-6$ функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & x > -6 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $-7 < x < -6$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > -6$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$.

Поэтому точкой минимума функции $y=4x-4\ln \left( x+7 \right)$является точка $x=-6$.

Правильный ответ

$x=-6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов