Задача 130 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y=2x-\ln \left( x+3 \right)+7$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=2x-\ln \left( x+3 \right)+7$: $x+3 > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+3 > 0 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 2x-\ln \left( x+3 \right)+7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 2x \right)}^{'}}-{{\left( \ln \left( x+3 \right) \right)}^{'}}+{{\left( 7 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=2-\frac{1}{x+3}=\frac{2x+6-1}{x+3}=\frac{2x+5}{x+3} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{2x+5}{x+3}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& 2x+5=0 \\ & 2x=-5 \\ & x=-2,5 \\ \end{align}\]

При $x=-2,5$ функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -2,5 \\ & x > -2,5 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $-3 < x < -2,5$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

при $x > -2,5$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

Известно, что точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$.

Поэтому точкой минимума функции $y=\ln \left( x+5 \right)-2x+9$является точка $x=-2,5$.

Правильный ответ

$x=-2,5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Комбинаторика в задаче B6: средний тест
  5. Пример решения задачи 15
  6. Как формулы приведения работают в задаче B11