Задача 129 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y=\ln \left( x+5 \right)-2x+9$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Область определения функции $y=\ln \left( x+5 \right)-2x+9$: $\left( x+5 \right) > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+5 > 0 \\ & x > -5 \\ \end{align}\]

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \ln \left( x+5 \right)-2x+9 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( \ln \left( x+5 \right) \right)}^{'}}-{{\left( 2x \right)}^{'}}+{{\left( 9 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=\frac{1}{x+5}-2 \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{1}{x+5}-2=0 \\ & \frac{1-2x-10}{x+5}=0 \\ & \frac{-2x-9}{x+5}=0 \\ & -\frac{2\left( x+4,5 \right)}{x+5}=0 \\ \end{align}\]

Так как знаменатель не равен нулю, то:

\[\begin{align}& -2x-9=0 \\ & 2x=-9 \\ & x=-4,5 \\ \end{align}\]

При $x=-4,5$ функция определена.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -4,5 \\ & x > -4,5 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке. Учтем область определения функции:

Получаем:

при $-5 < x < -4,5$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке,

при $x > -4,5$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит функция $y$ убывает на этом промежутке,

Известно, что точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$.

Поэтому точкой максимума функции $y=\ln \left( x+5 \right)-2x+9$является точка $x=-4,5$.

Правильный ответ

$x=-4,5$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции