Задача 128 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3$ на отрезке $\left[ \frac{5}{6};\frac{7}{6} \right]$.

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}}-5x+\ln x-3 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 5x \right)}^{'}}+{{\left( \ln \left( x \right) \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=4x-5+\frac{1}{x}=\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}\]

\[{{y}^{'}}=\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\frac{4{{x}^{2}}-5x+1}{x}=0\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 4{{x}^{2}}-5x+1=0 \\ & D=25-16=9 \\ & \sqrt{D}=3 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{5+3}{8}=1\\{{x}_{2}}=\frac{5-3}{8}=\frac{1}{4}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=4\left( x-1 \right)\left( x-\frac{1}{4} \right) \\ \end{align}\]

При найденных значения функция определена.

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < \frac{1}{4} \\ & \frac{1}{4} < x < 1 \\ & x > 1 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $\frac{5}{6}\le x < 1$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( 1 \right) < y\left( \frac{5}{6} \right)$,

при $1 < x\le \frac{7}{6}$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( \frac{7}{6} \right) > y\left( 1 \right)$.

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ \frac{5}{6};\frac{7}{6} \right]$ функция принимает в точке $x=1$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$-$ на $+$).

Найдем это значение:

\[y\left( 1 \right)=2\cdot 1-5\cdot 1-3=-6\]

Правильный ответ

$-6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Решение задач B12: №440—447
  5. Тригонометрические функции
  6. Задачи B2 на проценты: налоги и зарплата