Задача 127 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8$ на отрезке $\left[ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right]$

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8$: $x > 0$ — область определения функции $\ln x$.

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}}-13x+9\ln x+8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}={{\left( 2{{x}^{2}} \right)}^{'}}-{{\left( 13x \right)}^{'}}+{{\left( 9\ln x \right)}^{'}}+{{\left( 8 \right)}^{'}}\]

\[{{y}^{'}}=4x-13+\frac{9}{x}=\frac{4{{x}^{2}}-13x+9}{x}\]

\[{{y}^{'}}=\frac{4{{x}^{2}}-13x+9}{x}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \frac{4{{x}^{2}}-13x+9}{x}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 4{{x}^{2}}-13x+9=0 \\ & D=169-16\cdot 9=169-144=25 \\ & \sqrt{D}=5 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{13+5}{8}=\frac{18}{8}=\frac{9}{4}=2\frac{1}{8}\\{{x}_{2}}=\frac{13-5}{8}=1\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=4\left( x-\frac{9}{4} \right)\left( x-1 \right) \\ \end{align}\]

Оба значения попадают в область определения функции. Эти точки делят числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 1 \\ & 1 < x < 2\frac{1}{4} \\ & x > 2\frac{1}{4} \\ \end{align}\]

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в стационарной точке, которая попадает в заданный отрезок. А именно ${{x}_{1}}=1$:

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Получаем:

при $\frac{13}{14}\le x < 1$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( 1 \right) > y\left( \frac{13}{14} \right)$,

при $1 < x\le \frac{15}{14}$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( 1 \right) > y\left( \frac{15}{14} \right)$.

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ \frac{13}{14};\frac{15}{14} \right]$ функция принимает в точке $x=1$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$+$ на $-$).

Найдем это значение:

\[y\left( 1 \right)=2\cdot 1-13\cdot 1+9\cdot 0+8=-3\]

Правильный ответ

$-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Сложные задачи B2 на проценты: вычисление полной стоимости