Задача 124 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции$y=8\ln \left( x+7 \right)-8x+3$ на отрезке [–6,5; 0].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=8\ln \left( x+7 \right)-8x+3$: $x+7 > 0$ — область определения функции $\ln x$.

\[\begin{align}& x+7 > 0 \\ & x > -7 \\ \end{align}\]

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 8\ln \left( x+7 \right)-8x+3 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 8\ln \left( x+7 \right) \right)}^{'}}-{{\left( 8x \right)}^{'}}+{{\left( 3 \right)}^{'}}=\frac{8}{x+7}-8 \\ & {{y}^{'}}==\frac{8-8x-56}{x+7}=\frac{-8x-48}{\left( x+7 \right)}=\frac{-8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)} \\ & {{y}^{'}}=-\frac{8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\frac{8\left( x+6 \right)}{\left( x+7 \right)}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 8\left( x+6 \right)=0 \\ & x=-6 \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & x > -6 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $-6,5\le x < 6$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( -6 \right) > y\left( -6,5 \right)$,

при $-6 < x\le 0$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( -6 \right) > y\left( 0 \right)$.

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ -6,5;0 \right]$ функция принимает в точке $x=-6$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$+$ на $-$).

Найдемэтозначение:

\[y\left( -6 \right)=8\ln \left( -6+7 \right)-8\cdot \left( -6 \right)+3=51\]

Правильный ответ

$51$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  6. Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги