Задача 122 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\ln {{\left( x+5 \right)}^{5}}-5x$ на отрезке [−4,5; 0]

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=\ln {{\left( x+5 \right)}^{5}}-5x$: ${{\left( x+5 \right)}^{5}} > 0$ — область определения функции $\ln x$.

Поэтому:

\[\begin{align}& x+5 > 0 \\ & x > -5 \\ \end{align}\]

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \ln {{\left( x+5 \right)}^{5}}-5x \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 5\ln \left( x+5 \right) \right)}^{'}}-{{\left( 5x \right)}^{'}}=\frac{5}{x+5}-5 \\ & {{y}^{'}}=\frac{5-5x-25}{x+5}=\frac{-5x-20}{x+5}=\frac{-5\left( x+4 \right)}{x+5} \\ & {{y}^{'}}=\frac{-5\left( x+4 \right)}{x+5} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\frac{-5\left( x+4 \right)}{x+5}=0\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& -5\left( x+4 \right)=0 \\ & x=-4 \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < -4 \\ & x > -4 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $-2,4\le x < 4$, ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( -4 \right) > y\left( -4,5 \right)$

при $-4 < x\le 0$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( 0 \right) < y\left( -4 \right)$.

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ -4,5;0 \right]$ функция принимает в точке $x=-4$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$+$ на $-$).

Найдем это значение:

\[y\left( -4 \right)=\ln 1+5\cdot 4=20\]

Правильный ответ

20

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки