Задача 121 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}}$ на отрезке [−2,5; 0].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Область определения функции $y=3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}}$: ${{\left( x+3 \right)}^{3}} > 0$ — область определения функции $\ln x$.

\[\begin{align}& {{\left( x+3 \right)}^{3}} > 0 \\ & x+3 > 0 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

А значит, функция определена и на указанном отрезке.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение: ${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной от сложной и элементарных функций:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( \ln x \right)}^{'}}=\frac{1}{x} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ &\\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( 3x-\ln {{\left( x+3 \right)}^{3}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3x \right)}^{'}}-{{\left( 3\ln \left( x+3 \right) \right)}^{'}}=3-\frac{3}{x+3} \\ \end{align}\]

Найдем корни уравнения ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& 3-\frac{3}{x+3}=0 \\ & \frac{3x+9-3}{x+3}=0 \\ & \frac{3x+6}{x+3}=0 \\ \end{align}\]

Знаменатель не равен нулю, поэтому:

\[\begin{align}& 3x+6=0 \\ & x=-2 \\ \end{align}\]

При найденном значении функция определена и это значение попадает в указанный отрезок.

Найденная точка разбивает числовую прямую на два промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & x > 2 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $-2,5\le x < 2$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит, $y\left( -2 \right) < y\left( -2,5 \right)$,

при $-2 < x\le 0$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( 0 \right) > y\left( -2 \right)$

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ -2,5;0 \right]$ функция принимает в точке $x=-2$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с$-$ на $+$).

Найдем это значение:

\[y\left( 1 \right)=4\cdot 1-10\cdot 1+2\cdot 0-5=-11y\left( -2 \right)=3\cdot \left( -2 \right)-\ln {{\left( -2+3 \right)}^{3}}=-6-3\ln 1=-6-0=-6\]

Правильный ответ

$-6$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Подготовка к ЕГЭ по математике
  6. Сложные задачи B15: комбинация тригонометрии и многочленов