Задача 119 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\left( x-10 \right)}^{2}}\left( x-6 \right)-8$ на отрезке [8; 15].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка.

Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение:${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций, производной произведения и производной сложной функции:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{\left( u \right)}^{'}}{{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( f\cdot g \right)}^{'}}={{f}^{'}}\cdot g+f\cdot {{\left( g \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-10 \right)}^{2}}\left( x-6 \right)-8 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-10 \right)}^{2}} \right)}^{'}}\left( x-6 \right)+{{\left( x-10 \right)}^{2}}{{\left( x-6 \right)}^{'}}-{{\left( 8 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x-10 \right)\left( x-6 \right)+{{\left( x-10 \right)}^{2}} \\ & {{y}^{'}}=\left( x-10 \right)\left( 2x-12+x-10 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x-10 \right)\left( 3x-22 \right) \\ \end{align}\]

Решим уравнение ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& \left( x-10 \right)\left( 3x-22 \right)=0 \\ & \left[ \begin{matrix}x-10=0\\3x-22=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=10\\{{x}_{2}}=\frac{22}{3}=7\frac{1}{3}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=3\left( x-10 \right)\left( x-\frac{22}{3} \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < \frac{22}{3} \\ & \frac{22}{3} < x < 10 \\ & x > 10 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в стационарной точке:

Получаем:

при $8\le x < 10$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает, а значит, $y\left( 8 \right) > y\left( 10 \right)$,

при $10 < x\le 15$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( 15 \right) > y\left( 10 \right)$.

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ 8;15 \right]$ функция принимает в точке $x=10$, которая является точкой минимума функции (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с $-$ на $+$).

Найдем это значение:

\[y\left( 10 \right)={{\left( 10-10 \right)}^{2}}\left( 10-6 \right)-8=-8\]

Видим, что наименьшее значение функции на этом отрезке равно $-8$, которое она принимает в точке $x=10$.

Правильный ответ

$-8$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Как сдать ЕГЭ по математике
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (средний)
  5. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
  6. Задача B2 про комиссию в терминале