Задача 118 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-4 \right)+5$ на отрезке [1; 3].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка.

Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение:${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций, производной произведения и производной сложной функции:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{\left( u \right)}^{'}}{{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( f\cdot g \right)}^{'}}={{f}^{'}}\cdot g+f\cdot {{\left( g \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=2\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}} \\ & {{y}^{'}}=\left( x-2 \right)\left( 2x-8+x-2 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x-2 \right)\left( 3x-10 \right) \\ \end{align}\]

Решим уравнение ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& \left( x-2 \right)\left( 3x-10 \right)=0 \\ & \left[ \begin{matrix}x-2=0\\3x-10=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=2\\{{x}_{2}}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=3\left( x-2 \right)\left( x-3\frac{1}{3} \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & 2 < x < 3\frac{1}{3} \\ & x > 3\frac{1}{3} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наибольшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $x < 2$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает, а значит, $y\left( 2 \right) > y\left( 1 \right)$,

при $2 < x\le 3$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом промежутке, а значит $y\left( 2 \right) > y\left( 3 \right)$

Поэтому своё наибольшее значение на отрезке $\left[ 1;3 \right]$ функция принимает в точке $x=2$, которая является точкой максимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак с $+$ на$-$).

Найдем это значение:

\[y\left( 2 \right)={{\left( 2-2 \right)}^{2}}\left( 2-4 \right)+5=5\]

Видим, что наибольшее значение функции на этом отрезке равно 5, которое она принимает в стационарной точке $x=2$.

Правильный ответ

5

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Следствия из теоремы Виета
  5. Метод интервалов: случай нестрогих неравенств
  6. Формула простого процента: как найти исходное значение