Задача 117 — наименьшее значение

5 декабря 2016

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y={{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+5 \right)-1$ на отрезке [–4; –1].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка.

Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Найти область определения функции
Найти стационарные и критические точки функции, принадлежащие заданному отрезку
Найти значение функции в этих точках и на границах заданного отрезка
Сравнить найденные значения — выбрать из них наименьшее

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение:${{y}^{'}}=0$. Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций, производной произведения и производной сложной функции:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{\left( u \right)}^{'}}{{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( f\cdot g \right)}^{'}}={{f}^{'}}\cdot g+f\cdot {{\left( g \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}} \right)}^{1}}\left( x+5 \right)+{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x+5 \right)}^{'}}-{{\left( 1 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)+{{\left( x+3 \right)}^{2}}=\left( x+3 \right)\left( 2x+10+x+3 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x+3 \right)\left( 3x+13 \right) \\ \end{align}\]

Решим уравнение ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& \left( x+3 \right)\left( 3x+13 \right)=0 \\ & \left[ \begin{matrix}x+3=0\\3x+13=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-3\\{{x}_{2}}=-\frac{13}{3}=-4\frac{1}{3}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=3\left( x+3 \right)\left( x+4\frac{1}{3} \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < -\frac{13}{3} \\ & -\frac{13}{3} < x < -3 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке, а также, заданный в условии отрезок:

Для того чтобы найти наименьшее значение функции на заданном отрезке, сравним значения функции на краях отрезка и в точке экстремума функции:

Получаем:

при $4\le x < -3$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает, а значит, $y\left( -3 \right) < y\left( -4 \right)$,

при $-3 < x\le -1$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом промежутке, а значит $y\left( -1 \right) > y\left( -3 \right)$

Поэтому своё наименьшее значение на отрезке $\left[ -4;-1 \right]$ функция принимает в точке $x=-3$, которая является точкой минимума (т. к. при переходе через нее производная меняет свой знак$-$ с на$+$).

Найдем это значение:

\[y\left( -3 \right)={{\left( -3+3 \right)}^{2}}\left( -3+5 \right)-1=-1\]

Видим, что наименьшее значение функции на этом отрезке равно $-1$, которое она принимает в стационарной точке $x=-3$.

Правильный ответ

$-1$

Смотрите также: