Задача 116 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+5 \right)-1$.

Решение

Для того чтобы найти точку минимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Областью определения данной функции является вся числовая прямая.

Для нахождения стационарных точек, необходимо найти производную функции и решить уравнение:${{y}^{'}}=0$Найдем производную функции, пользуясь правилами нахождения производной элементарных функций, производной произведения и производной сложной функции:

\[\begin{align}& {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{\left( u \right)}^{'}}{{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( f\cdot g \right)}^{'}}={{f}^{'}}\cdot g+f\cdot {{\left( g \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{x}^{n}} \right)}^{'}}=n\left( {{x}^{n-1}} \right) \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{'}}=0 \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+3 \right)}^{2}} \right)}^{1}}\left( x+5 \right)+{{\left( x+3 \right)}^{2}}{{\left( x+5 \right)}^{'}}-{{\left( 1 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)+{{\left( x+3 \right)}^{2}}=\left( x+3 \right)\left( 2x+10+x+3 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x+3 \right)\left( 3x+13 \right) \\ \end{align}\]

Решим уравнение ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& \left( x+3 \right)\left( 3x+13 \right)=0 \\ & \left[ \begin{matrix}x+3=0\\3x+13=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-3\\{{x}_{2}}=-\frac{13}{3}=-4\frac{1}{3}\\\end{matrix} \right. \\ & {{y}^{'}}=3\left( x+3 \right)\left( x+4\frac{1}{3} \right) \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < -\frac{13}{3} \\ & -\frac{13}{3} < x < -3 \\ & x > -3 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < -\frac{13}{3}$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$ возрастает на этом отрезке,

при $-\frac{13}{3} < x\le -3$ ${{y}^{'}} < 0$, $y$ убывает на этом отрезке,

при $x > -3$ ${{y}^{'}} > 0$, $y$возрастает на этом отрезке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$. Поэтому точкой минимума функции $y={{\left( x+3 \right)}^{2}}\left( x+5 \right)-1$ является точка $x=-3$.

Правильный ответ

$x=-3$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Задача B2: Сложный процент и метод коэффициентов