Задача 115 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-4 \right)+5$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-4 \right)+5$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-4 \right)+5 \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}\left( x-4 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( x-4 \right)}^{\prime }}+{{\left( 5 \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=\left( x-2 \right)\left( 2x-8+x-2 \right)=\left( x-2 \right)\left( 3x-10 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x-2 \right)\left( 3x-10 \right) \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\left( x-2 \right)\left( 3x-10 \right)=0\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x-2=0\\3x-10=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=2\\{{x}_{2}}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 2 \\ & 2 < x < \frac{10}{3} \\ & x > \frac{10}{3} \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 2$, ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$возрастает на этом промежутке,

при $2 < x < \frac{10}{3}$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$убывает на этом промежутке,

при $x > \frac{10}{3}$, ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$возрастает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}\left( x-4 \right)+5$ является точка $x=2$.

Правильный ответ

$x=2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Десятичные дроби
  4. Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Как формулы приведения работают в задаче B11