Задача 114 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4-x}}$ на отрезке [–6; –1].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4-x}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}} \right)}^{'}}{{e}^{-4-x}}+{{\left( x+6 \right)}^{2}}{{\left( {{e}^{-4-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x+6 \right){{e}^{-4-x}}-{{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4-x}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{-4-x}}\left( x+6 \right)\left( 2-x-6 \right) \\ & {{y}^{'}}=-{{e}^{-4-x}}\left( x+6 \right)\left( x+4 \right) \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -{{e}^{-4-x}}\left( x+6 \right)\left( x+4 \right)=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{-4-x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x+6=0\\x+4=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-6\\{{x}_{2}}=-4\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что оба значения попадают в заданный отрезок.

Так как наибольшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( -6 \right)={{\left( -6+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4+6}}=0 \\ & y\left( -4 \right)={{\left( -4+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4+4}}=4 \\ & y\left( -1 \right)={{\left( -1+6 \right)}^{2}}{{e}^{-4+1}}=25{{e}^{-3}} \\ & 25{{e}^{-3}} < 0 < 4 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $4$, которое функция принимает в стационарной точке $x=-4$.

Правильный ответ

4

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 12 (без логарифмов)
  5. C2: расстояние между двумя прямыми
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант