Задача 112 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x}}$ на отрезке [–5; 1].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)}^{'}}{{e}^{x}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}=2\left( x-2 \right){{e}^{x}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x}} \\ & {{y}^{'}}={{e}^{x}}\left( x-2 \right)\left( 2+x-2 \right) \\ & {{y}^{'}}=x\left( x-2 \right){{e}^{x}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & x\left( x-2 \right){{e}^{x}}=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x=0\\x-2=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=2\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{2}}=2$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наибольшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( -5 \right)={{\left( -5-2 \right)}^{2}}{{e}^{-5}}=49{{e}^{-5}} \\ & y\left( 0 \right)={{\left( 0-2 \right)}^{2}}{{e}^{0}}=4\cdot 1=4 \\ & y\left( 1 \right)={{\left( 1-2 \right)}^{2}}e=e \\ & 49{{e}^{-5}} < e < 4 \\ \end{align}\]

Наибольшее значение функции на заданном отрезке равно $4$, которое функция принимает в стационарной точке $x=0$.

Правильный ответ

4

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Пример решения задачи 15
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией