Задача 109 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( {{x}^{2}}-8x+8 \right){{e}^{2-x}}$ на отрезке [1; 7].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( {{x}^{2}}-8x+8 \right){{e}^{2-x}}$является вся числовая прямая.

Вычислим производную заданной функции: воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( {{x}^{2}}-8x+8 \right){{e}^{2-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{x}^{2}}-8x+8 \right)}^{\prime }}{{e}^{2-x}}+\left( {{x}^{2}}-8x+8 \right){{\left( {{e}^{2-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 2x-8 \right){{e}^{2-x}}-1\cdot \left( {{x}^{2}}-8x+8 \right){{e}^{2-x}}={{e}^{2-x}}\left( 2x-8-{{x}^{2}}+8x-8 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( -{{x}^{2}}+10x-16 \right){{e}^{2-x}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \left( -{{x}^{2}}+10x-16 \right){{e}^{2-x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{2-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& -{{x}^{2}}+10x-16=0 \\ & D=100-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -16 \right)=36 \\ & \sqrt{D}=6 \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=\frac{-10+6}{-2}=2\\{{x}_{2}}=\frac{-10-6}{-2}=8\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{2}}=8$ не попадает в заданный отрезок. Отбрасываем его.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 1 \right)=\left( {{1}^{2}}-8\cdot 1+8 \right){{e}^{2-1}}=e \\ & y\left( 2 \right)=\left( {{2}^{2}}-8\cdot 2+8 \right){{e}^{2-2}}=\left( 4-16+8 \right){{e}^{0}}=-4\cdot 1=-4 \\ & y\left( 7 \right)=\left( {{7}^{2}}-8\cdot 7+8 \right){{e}^{2-7}}=\left( 49-56+8 \right){{e}^{-5}}={{e}^{-5}} \\ & -4 < {{e}^{-5}} < e \\ \end{align}\]

Поэтому, наименьшим значением функции на заданном отрезке является значение $y=-4$, которое функция принимает в точке $x=2$.

Правильный ответ

$-4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Решение задач B12: №448—455
  5. Как представить обычную дробь в виде десятичной
  6. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной