Задача 108 — наибольшее значение

Условие

Найдите наибольшее значение функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x}}$ на отрезке [–1; 4].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наибольшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x}}$является вся числовая прямая.

Вычислим производную заданной функции: воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right)}^{\prime }}{{e}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 6x-36 \right){{e}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x}}=\left( 3{{x}^{2}}-30x \right){{e}^{x}} \\ & {{y}^{'}}=3x\left( x-10 \right){{e}^{x}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 3x\left( x-10 \right){{e}^{x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{x}}\ne 0$, значит:

\[\left[ \begin{matrix}3x=0\\x-10=0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=10\\\end{matrix} \right.\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 10 \\ & x > 10 \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{2}}=10$ не попадает в заданный отрезок.

Исследуем знаки производной на каждом из них. Отметим их на рисунке, учитывая заданный отрезок:

Сравним значения функции на краях отрезка и в найденной точке.

Получаем, в пределах заданного отрезка:

при $-1\le x < 0$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке: $y\left( 0 \right) > y\left( -1 \right)$,

при $0 < x\le 4$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$ убывает на этом промежутке.: $y\left( 4 \right) < y\left( 0 \right)$.

Значит наибольшее значение на заданном отрезке функция принимает в точке максимума функции $x=0$.

Вычислим это значение:

\[y\left( 0 \right)=\left( 3\cdot {{\left( 0 \right)}^{2}}-36\cdot 0+36 \right){{e}^{0}}=36\]

Правильный ответ

36

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Решение задач B6: №362—377
  5. Видеоурок по задачам C2: уравнение плоскости через определитель
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант