Задача 107 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-10}}$ на отрезке [8; 11].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-10}}$является вся числовая прямая.

Вычислим производную заданной функции: воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ \end{align}\]

\[\begin{align}& {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

\[\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( \left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-10}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right)}^{\prime }}{{e}^{x-10}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{\left( {{e}^{x-10}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 6x-36 \right){{e}^{x-10}}+\left( 3{{x}^{2}}-36x+36 \right){{e}^{x-10}}=\left( 3{{x}^{2}}-30x \right){{e}^{x-10}} \\ & {{y}^{'}}=3x\left( x-10 \right){{e}^{x-10}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & 3x\left( x-10 \right){{e}^{x-10}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{x-10}}\ne 0$, значит:

\[\left[ \begin{matrix}3x=0\\x-10=0\\\end{matrix} \right.\]

\[\left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=10\\\end{matrix} \right.\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 10 \\ & x > 10 \\ \end{align}\]

Видим, что ${{x}_{1}}=0$ не попадает в заданный отрезок.

Исследуем знаки производной на каждом из них. Отметим их на рисунке, учитывая заданный отрезок:

Сравним значения функции на краях отрезка и в найденной точке.

Получаем, в пределах заданного отрезка:

при $8\le x < 10$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y$ убывает на этом промежутке: $y\left( 8 \right) > y\left( 10 \right)$,

при $10 < x\le 11$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y$ возрастает на этом промежутке: $y\left( 10 \right) < y\left( 11 \right)$

Значит наименьшее значение на заданном отрезке функция принимает в точке минимума $x=10$.

Вычислим это значение:

\[y\left( 10 \right)=\left( 3\cdot {{\left( 10 \right)}^{2}}-36\cdot 10+36 \right){{e}^{10-10}}=300-360+36=-24\]

Правильный ответ

$-24$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Умножение и деление дробей
  4. Правила комбинаторики в задаче B6
  5. Задача B4: случай с неизвестным количеством товара
  6. Как формулы приведения работают в задаче B11