Задача 104 — наименьшее значение

Условие

Найдите наименьшее значение функции $y=\left( 8-x \right){{e}^{9-x}}$ на отрезке [3; 10].

Решение

Известно, что если функция определена на заданном отрезке, то своё наименьшее значение она принимает либо в одной из критических точек, попадающих в указанный отрезок, либо на границах этого отрезка. Поэтому, для того чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо:

Областью определения функции $y=\left( 8-x \right){{e}^{9-x}}$является вся числовая прямая

Вычислим производную заданной функции.

Мы видим, что сама функция представляет собой произведение элементарной функции и показательной. Поэтому, для вычисления её производной воспользуемся правилом вычисления производной произведения и производной элементарных и показательных функций:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

Вычислим ${{y}^{'}}$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}={{\left( \left( 8-x \right){{e}^{9-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( 8-x \right)}^{\prime }}{{e}^{9-x}}+\left( 8-x \right){{\left( {{e}^{9-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=-\left( 8-x \right){{e}^{9-x}}-{{e}^{9-x}}={{e}^{9-x}}\left( -8+x-1 \right) \\ & {{y}^{'}}=\left( x-9 \right){{e}^{9-x}} \\ \end{align}\]

Область определения производной — вся числовая прямая.

Теперь вычислим точки, в которых производная ${{y}^{'}}=0$:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & \left( x-9 \right){{e}^{9-x}}=0 \\ \end{align}\]

Для того чтобы произведение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Так как множитель ${{e}^{9-x}}$ не равен 0 ни при каких значениях $x$, значит, второй множитель должен быть равен нулю:

\[\begin{align}& x-9=0 \\ & x=9 \\ \end{align}\]

Видим, что $x=9$ попадает в заданный отрезок.

Так как наименьшее значение функция принимает либо в критических точках, либо на концах отрезка — найдем и сравним эти значения:

\[\begin{align}& y\left( 3 \right)=\left( 8-3 \right){{e}^{9-3}}=5{{e}^{6}} \\ & y\left( 9 \right)=\left( 8-9 \right){{e}^{9-9}}=-1\cdot 1=-1 \\ & y\left( 10 \right)=\left( 8-10 \right){{e}^{9-10}}=-2\cdot {{e}^{-1}}=-\frac{2}{e} > -1 \\ \end{align}\]

Наименьшее значение функции на заданном отрезке равно $-1$.

Правильный ответ

–1

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Сложение и вычитание дробей
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: работаем с показательной функцией без производной