Задача 101 — точка максимума

Условие

Найдите точку максимума функции $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}{{e}^{4-x}}+\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}} \right){{\left( {{x}^{4-x}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=\left( 2\left( x+6 \right) \right)\left( {{e}^{4-x}} \right)-\left( {{\left( x+6 \right)}^{2}} \right){{e}^{4-x}} \\ & {{y}^{'}}=-\left( x+4 \right)\left( x+6 \right){{e}^{4-x}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & -\left( x+4 \right)\left( x+6 \right){{e}^{4-x}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{4-x}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x+4=0\\x+6=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=-6\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < -6 \\ & -6 < x < -4 \\ & x > -4 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < -6$, ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$ убывает на этом промежутке,

при $-6 < x < -2$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$возрастает на этом промежутке,

при $x > -4$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$убывает на этом промежутке.

Точка максимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $+$ на $-$. Поэтому точкой максимума функции $y={{\left( x+6 \right)}^{2}}{{e}^{4-x}}$является точка $x=-4$.

Правильный ответ

$x=-4$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Тест к уроку «Сложение и вычитание дробей» (легкий)
  4. Тест к уроку «Площади многоугольников без координатной сетки» (легкий)
  5. Как быстро извлекать квадратные корни
  6. Задача B15: частный случай при работе с квадратичной функцией