Задача 100 — точка минимума

Условие

Найдите точку минимума функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$.

Решение

Для того чтобы найти точку максимума функции, необходимо выполнить следующие шаги:

Функция $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$ определена на всей числовой прямой

Найдем производную заданной функции. Для этого вспомним правила нахождения производной элементарных функций и производной произведения:

\[\begin{align}& \left( y\cdot g \right)\text{ }\text{ }=y\text{ }\cdot g+y\cdot g \\ & {{\left( u\left( v \right) \right)}^{'}}={{u}^{'}}\left( v \right)\cdot {{\left( v \right)}^{'}} \\ & {{\left( {{e}^{x}} \right)}^{'}}={{e}^{x}} \\ & {{\left( Cx \right)}^{'}}=C \\ & {{\left( C \right)}^{^{'}}}=0 \\ \end{align}\]

И найдем производную от заданной функции:

\[\begin{align}& {y}'={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}} \right)}^{'}} \\ & {{y}^{'}}={{\left( {{\left( x-2 \right)}^{2}} \right)}^{\prime }}{{e}^{x-5}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{\left( {{e}^{x-5}} \right)}^{\prime }} \\ & {{y}^{'}}=2\left( x-2 \right){{e}^{x-5}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}} \\ & {{y}^{'}}=x\left( x-2 \right){{e}^{x-5}} \\ \end{align}\]

Производная определена при $x\in \left( -\infty ;+\infty\right)$.

Далее, найдем стационарные точки (точки, в которых производная равна нулю), для этого решим уравнение:

\[\begin{align}& {{y}^{'}}=0 \\ & x\left( x-2 \right){{e}^{x-5}}=0 \\ \end{align}\]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Так как ${{e}^{x-5}}\ne 0$, значит:

\[\begin{align}& \left[ \begin{matrix}x=0\\x-2=0\\\end{matrix} \right. \\ & \left[ \begin{matrix}{{x}_{1}}=0\\{{x}_{2}}=2\\\end{matrix} \right. \\ \end{align}\]

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

\[\begin{align}& x < 0 \\ & 0 < x < 2 \\ & x > 2 \\ \end{align}\]

Исследуем знаки производной на каждом из них, отметив их на рисунке:

Получаем:

при $x < 0$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$возрастает на этом промежутке,

при $0 < x < 2$ ${{y}^{'}} < 0$, а значит, функция $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$ убывает на этом промежутке,

при $x > 2$ ${{y}^{'}} > 0$, а значит, функция $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$возрастает на этом промежутке.

Точка минимума функции — это точка из области определения функции, при переходе через которую её производная меняет знак с $-$ на $+$. Поэтому точкой минимума функции $y={{\left( x-2 \right)}^{2}}{{e}^{x-5}}$является точка $x=2$.

Правильный ответ

$x=2$

Смотрите также:
  1. Как считать логарифмы еще быстрее
  2. Тригонометрия в задаче B15: решаем без производных
  3. Решение ЕГЭ-2011: вариант 1, часть B
  4. Комментарий к пробному ЕГЭ от 7 декабря
  5. Подготовка к ЕГЭ по математике
  6. Задача B2 про комиссию в терминале