Задача 3 — показательное уравнение

Условие

а) Решите уравнение ${{4}^{{{x}^{2}}-2x+1}}+{{4}^{{{x}^{2}}-2x}}=20$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–1; 2].

Решение

а) Преобразуем уравнение по свойству ${{4}^{m+n}}={{4}^{m}}\cdot {{4}^{n}}$:

\[4\cdot {{4}^{{{x}^{2}}-2x}}+{{4}^{{{x}^{2}}-2x}}=20;\]

\[5\cdot {{4}^{{{x}^{2}}-2x}}=20;\]

\[{{4}^{{{x}^{2}}-2x}}={{4}^{1}};\]

\[{{x}^{2}}-2x=1;\]

\[{{x}^{2}}-2x-1=0\];

Откуда $x=1\pm \sqrt{2}$.

б) Поскольку $1< \sqrt{2}< 2$, то

\[2< 1+\sqrt{2}< 3$ и$-2< -\sqrt{2}< -1$ ,$-1< 1-\sqrt{2}< 0.\]

Значит, отрезку [–1; 2] принадлежит только $x=1-\sqrt{2}$.

Правильный ответ

а) $x=1\pm \sqrt{2}$; б) $x=1-\sqrt{2}$.

Смотрите также:
  1. Вебинар по заданию 13: предварительное задание
  2. Пробный ЕГЭ 2016: задача 13 с тригонометрическим уравнением и отбором корней
  3. В 2012 году ЕГЭ по математике станет двухуровневым?
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
  5. Тригонометрические функции
  6. Задача B2 на проценты: вычисление полной стоимости покупки