Задача 8 — два завода

Условие

Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они произведут $t$ единиц товара.

За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей.

Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено $x$ руб., а второго — оставшиеся $(900000-x)$ руб. Тогда на первом заводе можно оплатить $\frac{x}{250}$ часов работы, а на втором — $\frac{900000-x}{200}$ часов работы. По условию, если рабочие трудятся ${{t}^{2}}$ часов в неделю, то за эту неделю они произведут$t$ единиц товара. Значит, количество произведённого за неделю товара равно квадратным корням из этих величин, поэтому для ответа на вопрос задачи требуется найти наибольшее значение функции

\[f=\sqrt{\frac{x}{250}}+\sqrt{\frac{900000-x}{200}}=\frac{\sqrt{10x}}{50}+\frac{\sqrt{1800000-2x}}{20}=\]

\[=\frac{1}{100}\left( 2\sqrt{10x}+5\sqrt{1800000-2x} \right)\]

на отрезке $0\le x\le 900000$.

Найдём производную:

\[{f}'=\frac{1}{100}\left( \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{x}}-\frac{5}{\sqrt{1800000-2x}} \right)=\]

\[=\frac{1}{100}\cdot \frac{\sqrt{18000000-20x}-5\sqrt{x}}{\sqrt{18000000-20x}\sqrt{x}}\]

Решая уравнение ${f}'=0$, получаем:

\[\sqrt{18000000-20x}-5\sqrt{x}=0;\]

\[18000000-20x=25x;\]

\[x=400000\].

Поскольку производная непрерывной функции f положительна на интервале (0; 400 000), равна нулю в точке 400 000 и отрицательна на интервале (400 000; 900 000), функция f достигает наибольшего на отрезке [0; 900 000] значения в точке 400 000, так как это-единственная точка максимума. Найдём его:

\[f\left( 400000 \right)=\sqrt{\frac{400000}{250}}+\sqrt{\frac{500000}{200}}=\sqrt{1600}+\sqrt{2500}=40+50=90\].

Тем самым, наибольшее возможное количество товара, которое могут произвести рабочие за неделю при заданном размере оплаты труда, равно 90 единицам.

Правильный ответ

90

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
  6. Вебинар по задачам С1: тригонометрия