Задача 70 — размер первоначального вклада

Условие

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме этого, в начале третьего и четвёртого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.

Решение

Пусть первоначальный вклад равен $S$ млн рублей. Так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$, то коэффициент повышения $k=1+0,01a$. Так как $a=10$% по условию, то $k=1+\frac{10}{100}=1,1$.

Тогда в конце первого года вклад составит $1,1S$,

а в конце второго — ${{1,1}^{2}}S=1,21S.$

В начале третьего года вклад пополнится на 3 млн рублей и составит $1,21S+3$,

а в конце третьего— $\left( 1,21S+3 \right)\cdot 1,1=1,331S+3,3.$

В начале четвёртого года вклад пополнится на 3 млн рублей и составит 1,331S + 6,3,

а в конце четвёртого — $ (1,331S+6,3)\cdot 1,1=1,4641S+\text{ }6,93$.

По условию, нужно найти наибольшее целое $S$, для которого через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей, то есть выполнено неравенство

\[1,4641S+6,93< 25,\]

откуда $S< 12\frac{5008}{14641}$. Наибольшее целое решение этого неравенства — число 12. Значит, размер первоначального вклада составляет 12 млн рублей.

Правильный ответ

12 млн рублей

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Теорема Виета
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 4 вариант
  6. Задача B5: площадь кольца