Задача 68 — бизнес-план

Условие

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число $n$ млн рублей в первый и второй годы, а также целое число $m$ млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения $n$ и $m$, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

Решение

Если первоначальный вклад равен $S$ млн рублей, то после увеличения на $a$% вклад станет равен $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$. Коэффициент увеличения обозначим $k=1+0,01a$. Так как $a=15$% по условию, то $k=1+\frac{15}{100}=1,15$.

К концу 1-го года получится $1,15\cdot 10+n=11,5+n$ (млн) вложений,

а к концу 2-го года — $1,15\left( 11,5+n \right)+n=13,225+2,15n$.

По условию первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся

\[13,225+2,15n\ge 2\cdot 10;\]

\[2,15n\ge 6,775;\]

\[n\ge 3\frac{65}{430};\]

Наименьшее целое решение n = 4.

Тогда к концу 2-го года получится $13,225+2,14\cdot 4=21,825$ (млн.)

К концу 3-го года имеем $1,15\cdot 21,825+m$ млн, а в конце 4-го года:

\[1,15\left( 1,15\cdot 21,825+m \right)+m=1,3225\cdot 21,825+2,15m=\]

\[=28,8635625+2,15m.\]

По плану первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся:

\[28,8635625+2,15m\ge 3\cdot 10;\]

\[2,15m\ge 1,1364375;\]

\[m\ge \frac{2272875}{4300000}.\]

Получаем, что $m=\text{ }1$ — наименьшее целое решение.

Правильный ответ

4 и 1 млн руб.

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  5. Задачи B6 с монетами
  6. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора