Задача 64 — два вклада

Условие

По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает на 11 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

Решение

Пусть на каждый тип вклада была внесена сумма $S$. На вкладе «А» каждый год сумма увеличивается на 10% $S+\frac{S}{100}\cdot 10=S\left( 1+\frac{10}{100} \right)=1,1S$, т. е. умножается на коэффициент 1,1.

Тогда через три года сумма на вкладе «А» равна ${{1,1}^{3}}S=\text{ }1,331S$. Аналогично, на вкладе «Б» сумма через три года будет равна

\[{{1,11}^{2}}\left( 1+\frac{n}{100} \right)S=1,2321\left( 1+\frac{n}{100} \right)S,\]

где $n$ — натуральное число, 1,11 — коэффициент повышения в первые два года, $1+\frac{n}{100}$ — коэффициент повышения в третий год.

По условию требуется найти наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А», то есть сумма через три года на вкладе «Б» должна быть больше суммы на вкладе «А». Решим неравенство:

\[1,2321\left( 1+\frac{n}{100} \right)S >1,331S;\]

\[n >100\cdot \frac{13310-12321}{12321}=8,02...\]

Следовательно, наименьшее целое число процентов равно 9.

Правильный ответ

9

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 3 (без логарифмов)
  5. Метод узлов в задаче B5
  6. Задача B2: лекарство и таблетки