Задача 61 — кредит Сергея

Условие

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину.

Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Решение

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Сергей взятую сумму, без учета процентов, возвращал равными долями, то есть 9 раз по $\frac{S}{9}$ (если сумму кредита принять за $S$).

Общая сумма, уплаченная Сергеем банку сверх кредита, обусловлена только применением процентной ставки.

В первом месяце эта часть заплаченной суммы составляла 0,12S, во втором — $0,12\cdot \left( S-\frac{S}{9} \right)$, в третьем — $0,12\cdot \left( \frac{8S}{9}-\frac{S}{9} \right),...,$ в восьмом — $0,12\cdot \frac{2}{9}S$, наконец, в последнем — $0,12\cdot \frac{1}{9}S$.

Всего за 9 месяцев:

$0,12S\cdot \left( 1+\frac{8}{9}+\frac{7}{9}+...+\frac{1}{9} \right)=0,12S\cdot \frac{\left( 1+\frac{1}{9} \right)}{2}\cdot 9=0,12S\cdot \frac{9+1}{2}=0,6S$, где сумма в скобках посчитана по формуле для суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии $\left( \frac{{{a}_{1}}+{{a}_{n}}}{2}\cdot n \right)$.

Искомое процентное отношение есть $\frac{0,6S}{S}\cdot 100$% = 60%.

Правильный ответ

60

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Что такое логарифм
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 1 вариант
  6. Тест по задачам B14: средний уровень, 2 вариант