Задача 54 — кредит Дмитрия

Условие

31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк $X$ рублей. Какой должна быть сумма $X$, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$, а годовые составляют $a$%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $b=1+0,01$, так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$.

После первой выплаты сумма долга составит S1 = SbX.

После второй выплаты сумма долга составит

\[{{S}_{2}}={{S}_{1}}b-X=(Sb-X)b-X=S{{b}^{2}}-(1+b)X.\]

По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому $S{{b}^{2}}-(1+b)X=0$, откуда $X=\frac{S{{b}^{2}}}{b+1}$.

При $S=4290000$ и $a=14,5$, получаем: $b=1,145$ и

\[X=\frac{4290000\cdot 1,311025}{2,145}=2622050\text{(рублей).}\]

Правильный ответ

2 622 050

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Площадь круга
  5. Метод узлов в задаче B5
  6. Сложные задачи на проценты