Задача 53 — кредит Савелия

Условие

31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий Переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$, а годовые составляют $a$%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $b=1+0,01a$, так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$.

1) После первой выплаты сумма долга составит ${{S}_{1}}=Sb-X$, где $X$ — величина платежа.

После второй выплаты сумма долга составит

\[{{S}_{2}}={{S}_{1}}b-X=\left( Sb-X \right)b-X=S{{b}^{2}}-\left( 1+b \right)X.\]

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

\[{{S}_{3}}={{S}_{2}}b-X=S{{b}^{3}}-\left( 1+b+{{b}^{2}} \right)X=S{{b}^{3}}-\frac{{{b}^{3}}-1}{b-1}\cdot X.\]

По условию тремя выплатами Савелий погасил кредит полностью, поэтому

\[S{{b}^{3}}-\frac{{{b}^{3}}-1}{b-1}\cdot X=0,\]

откуда $X=\frac{S{{b}^{3}}\left( b-1 \right)}{\left( {{b}^{3}}-1 \right)}$.

2) Рассуждая аналогично, находим, что если бы Савелий гасил долг двумя равными выплатами, то

долг после первого платежа ${{S}_{1}}=Sb-Y.$

Долг после второго платежа будет равен нулю или ${{S}_{2}}={{S}_{1}}b-Y=(Sb-Y)b-Y=S{{b}^{2}}-(1+b)Y$.

\[S{{b}^{2}}-(1+b)Y=0;\]

\[Y=\frac{S{{b}^{2}}}{b+1}.\]

То есть каждый год он должен был бы выплачивать $Y=\frac{S{{b}^{3}}}{b+1}$ рублей.

3) Заметим, что увеличение долга на 12,5% есть увеличение его в $\frac{9}{8}$ раза.

\[3X-2Y=\frac{3S{{b}^{3}}(b-1)}{{{b}^{3}}-1}-\frac{2S{{b}^{2}}}{b+1}=S{{b}^{2}}\left( \frac{3b(b-1)}{{{b}^{3}}-1}-\frac{2}{b+1} \right)=\]

\[=7378000\cdot {{\left( \frac{9}{8} \right)}^{3}}\cdot \left( \frac{3\cdot \frac{9}{8}\cdot \frac{1}{8}}{{{\left( \frac{9}{8} \right)}^{3}}-1}-\frac{2}{\frac{17}{8}} \right)=\]

\[=\frac{7378\cdot 125\cdot {{9}^{2}}}{8}\cdot \left( \frac{3\cdot \frac{9}{8}\cdot \frac{1}{8}\cdot {{8}^{3}}}{{{9}^{3}}-{{8}^{3}}}-\frac{16}{17} \right)=\]

\[=\frac{3689\cdot 125\cdot {{9}^{2}}}{4}\cdot \frac{(216\cdot 17-16\cdot 217)}{217\cdot 17}=\frac{125\cdot {{9}^{2}}\cdot 200}{4}=506250.\]

Второй способ

ДатаДолг при условии, что Савелийвыплатил долг за 3 равных платежаДолг при условии, что Савелийвыплатил долг за 2 равных платежа
31.12.2014Долг: 7 378 000 руб.Долг: 7 378 000 руб.
31.12.2015Долг увеличен,стал $7378000\cdot \frac{9}{8}$ руб.Долг увеличен,стал $7378000\cdot \frac{9}{8}$ руб.
До 31.12.2016Савелий перевел в банк х руб.Долг уменьшился и стал $7378000\cdot \frac{9}{8}-x$ руб.Савелий перевел в банк у руб.Долг уменьшился и стал $7378000\cdot \frac{9}{8}-y$ руб.
31.12.2016Долг увеличен в $\frac{9}{8}$ раза,стал $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{9}{8}x$ руб.Долг увеличен в $\frac{9}{8}$ раза,стал $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{9}{8}y$ руб.
До 31.12.2017Савелий перевел в банк $x$ руб. Долг уменьшился и стал $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{9}{8}x-x$ руб., т. е. $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{17}{8}x$ руб.Савелий перевел в банк $y$ руб. Долг уменьшился и стал $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{9}{8}y-y$ руб., т. е. $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{17}{8}y$ руб. Савелий расплатился за 2 равных платежа. Долга нет. Т. е. $7378000\cdot \frac{81}{64}-\frac{17}{8}y=0$
31.12.2017Долг увеличен в $\frac{9}{8}$ раза,стал $7378000\cdot \frac{729}{512}-\frac{153}{64}x$ руб.Долг 0 руб.
До 31.12.2018Савелий перевел в банк $x$ руб. Долг уменьшился и стал $7378000\cdot \frac{729}{512}-\frac{153}{64}x-x$ руб., т.е. $7378000\cdot \frac{729}{512}-\frac{217}{64}x$ руб. Савелий расплатился за 3 равных платежа. Долга нет. Т.е. $7378000\cdot \frac{729}{512}-\frac{217}{64}x=0$Долг 0 руб.

Из таблицы получаем, что ежегодные платежи в первом случае: $x=7378000\cdot \frac{729}{512}\cdot \frac{64}{217}=3098250$ руб. Во втором случае: $y=7378000\cdot \frac{81}{64}\cdot \frac{8}{17}=4394250$ руб. Найдём насколько рублей меньше отдал бы Савелий банку, если бы выплачивал долг двумя равными платежами:

\[3098250\cdot 3-4394250\cdot 2=506250\text{руб.}\]

Правильный ответ

506 250

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Метод Гаусса
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 6 (без производных)
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Еще раз о летающих камнях