Задача 52 — кредит Тимофея

Условие

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$, а годовые составляют $a$%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $b=1+0,01a$, так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=S(1+0,01a)$.

1) После первой выплаты сумма долга составит ${{S}_{1}}=Sb-X$, где $X$ — величина платежа.

После второй выплаты сумма долга составит

\[{{S}_{2}}={{S}_{1}}b-X=\left( Sb-X \right)b-X=S{{b}^{2}}-\left( 1+b \right)X.\]

После третьей выплаты сумма оставшегося долга равна

\[{{S}_{3}}={{S}_{2}}b-X=S{{b}^{3}}-\left( 1+b+{{b}^{2}} \right)X=S{{b}^{3}}-\frac{{{b}^{3}}-1}{b-1}\cdot X.\]

По условию тремя выплатами Тимофей погасил кредит полностью, поэтому

\[S{{b}^{3}}-\frac{{{b}^{3}}-1}{b-1}\cdot X=0,\]

откуда $X=\frac{S{{b}^{3}}\left( b-1 \right)}{\left( {{b}^{3}}-1 \right)}$.

2) Рассуждая аналогично, находим, что если бы Тимофей гасил долг двумя равными выплатами, то

долг после первого платежа ${{S}_{1}}=Sb-Y.$

Долг после второго платежа будет равен нулю или ${{S}_{2}}={{S}_{1}}b-Y=(Sb-Y)b-Y=S{{b}^{2}}-(1+b)Y$.

\[S{{b}^{2}}-(1+b)Y=0;\]

\[Y=\frac{S{{b}^{2}}}{b+1}.\]

То есть каждый год он должен был бы выплачивать $Y=\frac{S{{b}^{3}}}{b+1}$ рублей. Значит, он отдал банку на $3X-2Y$ больше.

При $S=7007000$ и $a=20$, получаем: $b=1,2$ и

\[X=\frac{7007000\cdot 1,728\cdot 0,2}{0,728}=3326400\text{ (рублей).}\]

\[Y=\frac{7007000\cdot 1,44}{2,2}=4586400\text{ (рублей).}\]

Значит, $3X-2Y=806400$.

Правильный ответ

806 400

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Метод Гаусса
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 5 (без производных)
  5. Иррациональные неравенства. Часть 1
  6. Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии