Задача 47 — кредит Александра Сергеевича

Условие

1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

Решение

Срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты максимальны и составляют 275 тыс. рублей.

Рассчитаем коэффициент повышения. Пусть сумма кредита равна $S$, а процентная ставка составляет $a$%. Тогда в первый день каждого месяца оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент $1+0,01a$,так как $S+\frac{S}{100}\cdot a=\left( 1+0,01a \right)S$. По условию $a=1$%, значит, коэффициент равен $1+0,01\cdot 1=1,01$.

Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты.

МесяцДолг банку (руб.)Остаток долга после выплаты (руб.)
01 100 000
1$1 100 000\cdot 1,01 = 1111 000$1111000 – 275000 = 836 000
2$836 000\cdot 1,01 = 844 360$844 360 – 275 000 = 569 360
3$569 3601,01 = 575 053,6$575 053,6 – 275 000 = 300 053,6
4$300 053,6\cdot 1,01 = 303 054,136$303 054,136 – 275 000 = 28 054,136
5$28 054,136\cdot 1,01 = 28 334,67736$28 334,67736 – 28 334,67736 = 0

Второй способ

Заметим, что за 4 месяца Александр Сергеевич выплатит 1,1 млн рублей. Таким образом, он не покроет долг с процентами. Каждый месяц долг увеличивается не более, чем на 1 100 0000,01 = 11 000 рублей. Значит, за пять месяцев Александр Сергеевич должен будет выплатить не более 1 100 000 + 511 000 = 1 155 000 рублей, что менее чем 5275 000 = 1 375 000 рублей. Таким образом, Александр Сергеевич сможет выплатить кредит за 5 месяцев.

Правильный ответ

5

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Системы линейных уравнений: основные понятия
  4. Локальная теорема Муавра — Лапласа
  5. Сложные логарифмические неравенства
  6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов