Задача 43 — два брокера

Условие

Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение

Пусть цена акций при покупке равна ${{t}_{1}}$ (100% ) и пусть затем она возросла на $t$%. Тогда, так как 75% = 3/4, а 80% = 4/5 и 100 + 140 = 240% = 2,4, то

Кол-во акций, купленных по цене ${{t}_{1}}$ Кол-во акций, проданных по цене ${{t}_{1}}+\frac{{{t}_{1}}}{100}\cdot t={{t}_{1}}(1+0,01t)$
I брокерПусть кол-во равно $4x$ $4x\cdot \frac{3}{4}=3x$
II брокерПусть кол-во равно $5y$ $5y\cdot \frac{4}{5}=4y$

По условию задачи составим систему уравнений:

\[\left\{ \begin{align}& (4x+5y){{t}_{1}}=3640, \\ & (3x+4y)\cdot {{t}_{1}}(1+0,01t)=3927, \\ & 4y=2,4\cdot 3x; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& 13x{{t}_{1}}=3640, \\ & 10,2x{{t}_{1}}(1+0,01t)=3297, \\ & y=1,8x; \\ \end{align} \right.\]

\[\left\{ \begin{align}& x{{t}_{1}}=280, \\ & 17\cdot 3\cdot 8\cdot 7(1+0,01t)=11\cdot 17\cdot 3\cdot 7, \\ & y=1,8x; \\ \end{align} \right. \left| :(17\cdot 3\cdot 7) \right.\]

\[8\left( 1+0,01t \right)=11;\]

\[0,01t=\frac{3}{8};\]

\[t=37,5.\]

Второй способ (близкий к арифметическому решению)

Пусть первый брокер купил $x$ акций, а второй —$y$ акций. Тогда первый продал $0,75x$ акций, второй — $0,8y$ акций.

То, что сумма от продажи акций, полученных вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, означает: сумма, полученная вторым брокером, больше суммы, полученной первым, в 2,4 раза:

\[\frac{100+140}{100}=2,4.\]

Так как цена одной акции у обоих брокеров одинакова, а полученные суммы прямо пропорциональны количеству акций, проданных каждым брокером, то

\[\frac{0,8y}{0,75x}=2,4;\]

\[\frac{y}{x}=\frac{2,4\cdot 0,75}{0,8}=\frac{1,8}{0,8}=\frac{9}{4}.\]

Если $k$ — коэффициент пропорциональности количества акций, купленных брокерами, то ими приобретено $13k$ акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:

\[\frac{3640}{13k}=\frac{280}{k} р.\]

Первый брокер продал $0,75\cdot 4k=3k$ акций, второй $0,8\cdot 9k=7,2k$ акций. Всего было продано $10,2k$ акций. К моменту продажи цена одной акции стала

\[\frac{3927}{3k+7,2k}=\frac{3927}{10,2k}=\frac{385}{k} (р),\]

т.е. на $\frac{385-280}{k}=\frac{105}{k}$ (р) выше.

Значит, цена одной акции возросла на 37,5%

\[\left( \frac{105}{k}:\frac{280}{k}\cdot 100=37,5 \right).\]

Третий способ (преобладает алгебраический подход)

Пусть $x$р. — первоначальная цена одной акции, $y$ — количество акций, купленных первым брокером, $z$ — количество акций, купленных вторым брокером. И пусть цена одной акции возросла на $t$%. Тогда: $x(y+z)=3640$ (1)

Со временем цена одной акции выросла до $x(1+0,01t)$ рублей.

Первый брокер продал акций на сумму $0,75xy(1+0,01t)$ рублей, а второй брокер — на $0,8xz(1+0,01t)$ рублей.

Согласно условию задачи имеем: $0,75xy(1+0,01t)+0,8xz(1+0,01t)=3927,$ т.е.

\[x(0,75y+0,8z)(1+0,01t)=3927, (2)\]

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то

\[0,8xz(1+0,01t)=2,4\cdot 0,75xy(1+0,01t),\]

\[0,8z=1,8y,\]

\[z=2,25y.\]

Подставив полученное значение $z$ в уравнение (1), будем иметь:

\[3,25xy=3640;\]

\[xy=1120.\]

Подставим то же значение $z$ в уравнение (2):

\[2,55xy(1+0,01t)=3927;\]

\[xy\cdot \left( 1+0,01t \right)=1540.\]

А значение $xy$ нами найдено выше.

Следовательно, $1120(1+0,01t)=1540;$

\[1+0,01t=1,375;\]

\[0,01t=0,375;\]

\[t=37,5.\]

Правильный ответ

37,5

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Решение квадратных уравнений
  4. Знаки тригонометрических функций
  5. Как решать задачи про смеси и сплавы
  6. Задача B5: площадь фигуры без клеток