Задача 36 — два поля фермера

Условие

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение

Площадь картофеля, гаПлощадь свеклы, гаУрожай картофеля, цУрожай свеклы, цСтоимость картофеля, рубСтоимость свеклы, руб
I поле$x$ $(0\le x\le 10)$ $10-x$ $400x$ $300(10-x)$ $10000\cdot 400x$ $11000\cdot 300(10-x)$
II поле${{x}_{1}}$ $(0\le {{x}_{1}}\le 10)$ $10-{{x}_{1}}$ $300{{x}_{1}}$ $400(10-{{x}_{1}})$ $10000\cdot 300{{x}_{1}}$ $11000\cdot 400(10-{{x}_{1}})$

Обозначим через $x$га площадь посева картофеля и составим функцию доходности с первого поля в зависимости от объема посева картофеля, имеем (здесь 10000 = 10 тыс. руб и 11000 = 11 тыс. руб):

\[y=10\cdot 400\cdot x+11\cdot 300\cdot (10-x);\]

\[y=4000x+33000-3300x;\]

\[y=700x+33000.\]

Это выражение представляет из себя линейную функцию с угловым коэффициентом 700, то есть функция возрастающая, следовательно, ее максимальное значение соответствует $x=10\]га, то есть все первое поле следует засевать картофелем.

Для второго поля (приняв за ${{x}_{1}}$га площадь картофеля ) имеем:

\[y=10\cdot 300\cdot {{x}_{1}}+11\cdot 400\cdot (10-{{x}_{1}});\]

\[y=3000{{x}_{1}}+44000-4400{{x}_{1}};\]

\[y=-1400{{x}_{1}}+44000.\]

Угловой коэффициент у линейной функции равен −1400, следовательно, ее максимальное значение будет соответствовать точке ${{x}_{1}}=0$, то есть второе поле целиком следует засевать свеклой.

В результате, получаем максимальный возможный доход для фермера:

\[10\cdot 400\cdot 10+11\cdot 400\cdot 10=40000+44000=84000.\]

То есть 84000 тыс. рублей или 84 000 000 рублей.

Правильный ответ

84 000 000

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Геометрическая вероятность
  4. Знаки тригонометрических функций
  5. Общая схема решения задач B15
  6. Иррациональное уравнение: учимся решать методом уединения корня