Задача 35 — продажа ценной бумаги

Условие

Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Решение

Продать ценную бумагу выгодно в тот момент, когда 8% от ее цены станут составлять не меньше чем 1 тыс. рублей, то есть $0,08(8000+1000(n-1))\ge 1000,$где $8000+1000(n-1)$ — цена акции через $n$ лет, так как она увеличивается ежегодно на одно и то же число, а, значит, является членом арифметической прогрессии.

Получим: $640+80(n-1)\ge 1000;$

\[n\ge 5,5,\]

то есть ценную бумагу нужно продать в течение шестого года (сразу по прошествии пяти лет).

Иначе, продать ценную бумагу нужно в тот момент, когда цена бумаги станет не менее 12,5 тыс. рублей (чтобы 8% от цены стали составлять не менее 1 тыс. рублей), что произойдет через шесть лет после покупки ценной бумаги (8 + 51 = 13).

Приведем другое решение

Если Алексей продаст бумагу в течение $k$-го года, то к этому году цена станет равна ${{a}_{k}}={{a}_{1}}+d(k-1)=8+1(k-1)=k+7$, так как увеличивается каждый год на одно и то же число. А через тридцать лет после покупки сумма на его счёте будет равна $(k+7)\cdot {{1,08}^{25-k}}$, так как в каждый из $25-k$лет цена увеличивается в $\frac{100+8}{100}=1,08$ раза. Таким образом, нам нужно найти номер максимального члена последовательности ${{a}_{k}}=(k+7)\cdot {{1.08}^{25-k}}$, где $k$ пробегает целые значения от 1 до 25. Рассмотрим приращение

\[{{b}_{k}}={{a}_{k}}-{{a}_{k-1}}={{\left( 1,08 \right)}^{25-k}}\left( k+7-1,08\left( \left( k-1 \right)+7 \right) \right)={{\left( 1,08 \right)}^{25-k}}\left( 0,52-0,08k \right).\]

Отсюда ${{b}_{k}} >0$ при $k< 6,5$, то есть члены последовательности возрастают до члена последовательности с номером $k=6$, а затем убывают (${{b}_{k}}< 0$ при $k >6$). Следовательно, наибольшее значение последовательность ${{a}_{k}}$ принимает при $k=6$.

Правильный ответ

в течение шестого года

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №8
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 7 (без производных)
  5. Как считать логарифмы еще быстрее
  6. Формулы приведения: ускоряем вычисления в тригонометрии