Задача 31 — кредит на 17 месяцев

Условие

Алексей взял кредит в банке на срок 17 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $r$% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 27 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите $r$.

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$. По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть 17 раз на $\frac{S}{17}$:

\[S-\frac{S}{17},\ \frac{16S}{17}-\frac{S}{17},...,\ \frac{2S}{17},\ \frac{S}{17},\ 0.\]

К концу каждого месяца к сумме долга добавляется $r$%. Пусть коэффициент увеличения суммы долга $k=1+\frac{r}{100}$. Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:

\[kS,\ \frac{16kS}{17},...,\ \frac{2kS}{17},\ \frac{kS}{17}.\]

Так как от суммы $kS$ после выплаты осталось $S-\frac{S}{17}$, то для нахождения величины первой выплаты необходимо найти разность этих величин: $kS-\left( S-\frac{S}{17} \right)=S(k-1)+\frac{S}{17}.$

Так же находим вторую выплату $\frac{16kS}{17}-\left( \frac{16S}{17}-\frac{S}{17} \right)=\frac{16S(k-1)+S}{17};$и так далее.

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{17},\ \frac{16\left( k-1 \right)S+S}{17},...,\ \frac{2\left( k-1 \right)S+S}{17},\frac{\left( k-1 \right)S+S}{17}.\]

Всего следует выплатить:

\[17\cdot \frac{S}{17}+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{16}{17}+...+\frac{2}{17}+\frac{1}{17} \right)=\]

\[=S+S(k-1)\cdot \frac{1+\frac{1}{17}}{2}\cdot 17=S+S(k-1)\cdot 9.\]

Общая сумма выплат оказалась на 27% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:

\[\frac{S+S(k-1)\cdot 9-S}{S}=0,27;\]

\[9(k-1)=0,27;\]

$k=1+\frac{r}{100}=1,03,$ откуда получаем, что r = 3.

Правильный ответ

3

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
  5. Четырехугольная пирамида в задаче C2
  6. Как быстро запомнить таблицу синусов и косинусов