Задача 30 — кредит на 12 месяцев

Условие

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит равными ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется $r$% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите $r$.

Решение

Пусть сумма кредита равна $S$. По условию долг Алексея должен уменьшаться до нуля равномерно, то есть 12 раз на $\frac{S}{12}$ :

\[\left( \ S-\frac{S}{12} \right),...,\ \left( \frac{3S}{12}-\frac{S}{12} \right),\ \left( \frac{2S}{12}-\frac{S}{12} \right),\ \left( \frac{S}{12}-\frac{S}{12} \right).\]

К концу каждого месяца к сумме долга добавляется $r$%. Пусть коэффициент повышения равен $k=1+\frac{r}{100}$. Тогда последовательность сумм долга вместе с процентами такова:

\[kS,\ \frac{11kS}{12},...,\ \frac{2kS}{12},\ \frac{kS}{12}.\]

Поскольку от суммы $kS$ после выплаты осталось $S-\frac{S}{12}$, то для нахождения величины первой выплаты необходимо найти разность этих величин: $kS-\left( S-\frac{S}{12} \right);$

Так же находим вторую выплату $\frac{11kS}{12}-\left( \frac{11S}{12}-\frac{S}{12} \right);$и так далее.

Следовательно, выплаты должны быть следующими:

\[\left( k-1 \right)S+\frac{S}{12},\ \frac{11\left( k-1 \right)S+S}{12},...,\ \frac{2\left( k-1 \right)S+S}{12},\frac{\left( k-1 \right)S+S}{12}.\]

Всегоследуетвыплатить:

\[12\cdot \frac{S}{12}+S\left( k-1 \right)\left( 1+\frac{11}{12}+...+\frac{2}{12}+\frac{1}{12} \right)=S+S(k-1)\cdot \frac{13}{2}.\]

Общая сумма выплат оказалась на 13% больше суммы, взятой в кредит, поэтому:

\[\frac{S+S(k-1)\cdot \frac{13}{2}-S}{S}=0,13;\]

\[k-1=0,13\cdot \frac{2}{13};\]

$k=1+\frac{r}{100}=1,02$, откудаполучаем, что r = 2.

Правильный ответ

2

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Формула полной вероятности
  4. Основное тригонометрическое тождество
  5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 7 вариант
  6. Задача B5: площадь кольца