Задача 3 — добыча металла

Условие

В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?

Решение

1) За сутки в первой области добывают $160\cdot 5\cdot 0,1=80$ кг металла. Значит, можем составить функцию $f=80+x+y$ $(x\ge 0,y\ge 0)$, с помощью которой можно посчитать суммарную массу металлов, добытую за сутки в двух областях. Требуется найти наибольшее значение этой функции.

2) $\text{ Человеко-час }\cdot\text{ Кол-во работников } =\text{ Кол-во часов на рабочих местах }$. Следовательно, $\frac{{{x}^{2}}}{5}$ — это количество людей во второй области, занятых на добыче алюминия, а $\frac{{{y}^{2}}}{5}$ — количество людей, добывающих никель во второй области. С другой стороны, $160-\frac{{{x}^{2}}}{5}$ — это то же самое количество. Выразим из этого равенства $160-\frac{{{x}^{2}}}{5}=\frac{{{y}^{2}}}{5}$ одну из переменных $y=\sqrt{800-{{x}^{2}}}$ и подставим в функцию:

$f=80+x+\sqrt{800-{{x}^{2}}}$, и найдем ее наибольшее значение на отрезке $\left[ 0;\sqrt{800} \right]$.

\[{f}'\left( x \right)=1-\frac{2x}{2\sqrt{800-{{x}^{2}}}}\],

${f}'\left( x \right)=0$ при $1-\frac{x}{\sqrt{800-{{x}^{2}}}}=0,$

\[\sqrt{800-{{x}^{2}}}=x,\]

\[\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=400, \\ & x\ge 0; \\ \end{align} \right.\]

\[x=20.\]

При $x$, меньших 20, производная положительна, а при $x$, больших 20, производная отрицательна, поэтому в точке 20 функция достигает максимума $f(20)=80+20+\sqrt{800-{{20}^{2}}}=120$, равного наибольшему значению функции на исследуемом промежутке.

Правильный ответ

120 кг

Смотрите также:
  1. Задача про бизнес-планы — новый тип
  2. Пробный ЕГЭ 2016: новая задача 17 про бизнес-планы, которая сводится к решению уравнений в целых числах
  3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
  4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 9 (без логарифмов)
  5. Тригонометрические функции
  6. Задачи на проценты: стандартный расчет с помощью пропорций